No.981

題名:トポロジーに関する閉曲面Σgについて
報告者:ダレナン

 近年の数学はやわらかい局面になってきている。やわらかい、が、それを理解できない頭は、かたいかもしれない。まさに、筆者は、今、このかたい頭と格闘している。何とか理解したい数学のやわらかい局面に、トポロジーが存在する。分かりやすいトポロジーの例を図1に示す。トポロジー的に言えばコーヒーカップもドーナツも同一である。
 この報告書は、ある意味、報告書のNo.977の続きでもある。しかしながら、続くと明言する前に、このかたい頭を説く必要性が生じた。そこで、ここでは、あえて続きとせずに、トポロジーを理解すべく、頭の中でかたくよじられ、こんがらがったひものような神経(ねじれひも神経:物理学におけるひも理論(超弦理論)もトポロジーと関係がある2)。宇宙(アウタースペース)は筆者の頭の中(インナースペース)のようにねじれにねじれている)を、トポロジー的に解きほぐして、できるだけトポロジーの理解に努めてから、No.977の続きを改めて記述したいと考えている。

図1 トポロジーの例1)

そのため、読者の方には、あえて続きでない旨を了承していただければ幸いである。また、文中に謝った記述があれば、筆者の浅学非才を公表するようなもので忸怩たる思いはあるも、そこはお許し願いたい。
 北海道大学の幾何学を専門とする数学者の石川剛郎博士によれば、トポロジーとは、「ものごとのつながり具合を表現する概念」、「柔らかい幾何学」であるという1)。そして、連結 (connected):つながっている状態を意味する形容詞でもって、トポロジーがどうつながっているかを示す。そして、多面体への展開でもって、曲面の連結性が研究され、球面、正4面体、立方体などの曲面から、閉曲面Σg とは多面体における穴の個数(種数)を指す3)。先の図では、コーヒーカップも閉曲面Σgは1、ドーナツも閉曲面Σgは1で、種数gがともに一致し、これはトーラスΣ1と呼ばれる3)。ちなみに、穴のない球面は球面Σ0となる3)。さらに、ドーナツをかじったとしても、そこに穴の個数に変化がなければ、種数は1のままであり、図2のドーナツもそれは同じである。ゆえに、図2の素敵なモデルのアナベル明さん(カメラマンは Naoyuki Saikawa氏)も、暗黙のうちにその種数を目で伝えている。

図2 アナベル明さんの写真4)

1) https://twitter.com/Simon_Sin/status/783298476134141952 (閲覧2018.11.26)
2) http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~shigeki.sugimoto/YITP50.pdf (閲覧2018.11.26)
3) http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/topokangae.pdf (閲覧2018.11.26)
4) https://www.instagram.com/p/BqcL1T0F2x0/ (閲覧2018.11.26)

 
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