No.803

題名:四次元超地球の体積と面積 -そのⅡ-
報告者:ログ

 本報告書は、基本的にNo.802の続きであることを、ここで前もってことわりたい。

 d(d=4, 5, 6, …)として、三次元以上の高次元における球は超球と呼ばれ、このことから、四次元における地球は、実は超地球と名称できる。これについては、先の報告書で示した通りである。すなわち、一般的に求めていた球の体積や面積は、現実の超地球で考えると、次元が一つ足りないことになる。そのため、宇宙空間における地球の体積や面積を求めるとすると、四次元での超球として求めるのが正しいのかもしれない。そこで、本報告書では超地球として四次元での地球の体積と面積を求めたい。
 d次元における超球の体積と面積は、以下のように定式化される。

V=1/Γ(d/2+1) π^(d/2) r^d

ここで、dは次元を示し、rは超球の半径を示す。Γはオイラーのガンマ函数である1)。四次元であることから、Γ(3)=2!=2となり2)、超地球の体積Vは

V=1/2 π^2 r^4

で求められる。地球の半径は6.3781×106 mであることから、Vは約8158.2046×1024 m4となる。d次元の超球の面積S(正確には、超球の面積を超球面と呼ぶ3))の一般式は、

S_d=d/dr V_(d+1)

で表せ、先の報告書で気づいたように、V(d+1次元)の半径rに関する微分がS(d次元)となる1)。そのため、超地球の面積Sは

S=2π^2 r^3

となり、Sは約5116.3855×1018 m3となる。三次元での地球の体積は1086.2814×1018 m3となる。これから、四次元面積 vs 三次元体積での比較では、約4.71倍の差が生じる。これは何を意味するのか?

1) https://ja.wikipedia.org/wiki/超球の体積 (閲覧2018.5.17)
2) https://ja.wikipedia.org/wiki/ガンマ関数 (閲覧2018.5.17)
3) https://ja.wikipedia.org/wiki/超球面 (閲覧2018.5.17)

 
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